Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 27 № 2509
i

Опре­де­ли­те, в каких пре­де­лах ме­ня­ет­ся сила на­тя­же­ния нити ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка, ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го х0 много мень­ше длины нити l, если масса ма­ят­ни­ка m.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Наи­мень­шая сила на­тя­же­ния нити в край­них по­ло­же­ни­ях ма­ят­ни­ка и равна T_min=mg ко­си­нус альфа , при этом

ко­си­нус альфа = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус синус в квад­ра­те альфа конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: l в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та \approx1 минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби ,

где по свой­ству малых ве­ли­чин ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 \pm a конец ар­гу­мен­та =1 \pm дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби при a \ll 1.

Таким об­ра­зом, ми­ни­маль­ное зна­че­ние силы на­тя­же­ния равно

T_min=mg левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Наи­боль­шее зна­че­ние сила на­тя­же­ния будет иметь при вер­ти­каль­ном рас­по­ло­же­нии нити. По вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на в про­ек­ции на вер­ти­каль­ную ось T минус mg=ma; при этом a= дробь: чис­ли­тель: v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: l конец дроби .

По за­ко­ну со­хра­не­ния энер­гии для край­не­го по­ло­же­ния ма­ят­ни­ка и по­ло­же­ния рав­но­ве­сия E_p=E_k, от­ку­да mgh= дробь: чис­ли­тель: m v в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , при этом h=l левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из урав­не­ний на­хо­дим, что мак­си­маль­ная сила на­тя­же­ния нити

T_max=mg левая круг­лая скоб­ка 3 минус 2 ко­си­нус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка .

Учи­ты­вая из из­ло­жен­но­го вышел, что ко­си­нус альфа \approx1 минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби , на­хо­дим мак­си­маль­ное зна­че­ние силы на­тя­же­ния нити

T_max=mg левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Таким об­ра­зом, сила на­тя­же­ния нити на­хо­дит­ся в пре­де­лах

mg левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше T мень­ше mg левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Ответ:mg левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше T мень­ше mg левая круг­лая скоб­ка 1 плюс дробь: чис­ли­тель: x_0 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2l в квад­ра­те конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Источник: Са­вчен­ко О. Я. За­да­чи по фи­зи­ке, М.: «Наука», 1988 (№ 3.1.16)
Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025